Pour Flo.
Cet exercice s’inspire d’une des méthodes classiques de construction des réels à partir des rationels.
Considérons l’ensemble des suites de Cauchy dans $\mathbb{R}$, noté $\mathbf{C}(\mathbb{R})$.
Soit $\equiv_\mathbb{R}$ la relation entre suites de Cauchy définie comme suit:
$$\forall u, v \in \mathbf{C}(\mathbb{R}) \quad
u \equiv_\mathbb{R} v
\;\stackrel{\text{def}}{\iff}\;
\text{lim }u = \text{lim }v$$
(1) Montrer que $\equiv_\mathbb{R}$ est bien définie.
(2) Montrer que $\equiv_\mathbb{R}$ est une relation d’équivalence.
(3) Trouver une formulation de $\equiv_\mathbb{R}$ qui ne fasse pas intervenir explicitement de nombre réel (c’est à dire par exemple qui ne fasse pas référence à la limite des suites $u$ et $v$).
(4) Utiliser la formulation trouvée au (3) pour définir une relation d’équivalence $\equiv_\mathbb{Q}$ similaire à $\equiv_\mathbb{R}$, mais pour l’ensemble $\mathbf{C}(\mathbb{Q})$ des suites de Cauchy dans $\mathbb{Q}$.
(5) Construire une bijection entre l’ensemble des réels $\mathbb{R}$ et le quotien des suites de Cauchy $\mathbf{C}(\mathbb{Q})$ par la relation $\equiv_\mathbb{Q}$.
$\Box$
Indices
La question (3) est difficile. Deux mots indice:
- Entrelacement
- Différence
Indices++
- Si $u$ et $v$ sont deux suites de Cauchy, considérer la suite w définie comme suit: $$\forall n\in\mathbb{N}, w_{2n}= u_n\text{ et }w_{2n+1}=v_n$$
- Si $u$ et $v$ sont deux suites de Cauchy à valeurs dans $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, considérer la suite w définie comme suit: $$\forall n\in\mathbb{N}, w_n=v_n-u_n$$
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